Seminar 1: Matematikk for mikroøkonomi

Uke 5, ansvarlig: JIH

Del I: Modeller i mikroøkonomi

1. ) Hva menes med en økonomisk modell?

   En forenklet beskrivelse av virkeligheten. Bygger pr. definisjon på forutsetninger. Virkeligheten er kompliser, forenklingen gjør at vi kan rense vekk momenter som vi tror ikke har noen spesiell innvirkning på vårt spørsmål.

2. ) Hva er forskjellen mellom eksogene og endogene variabler i en økonomisk modell?

   I mikroøkonomi er endogene variable er de variablene som blir forklart av modellen. Eksogene variable er de variablen som inngår i modellen, men blir bestemt utenfor modellen.

3. ) Hva vil det si å utføre komparativ stikk i en økonomisk modell?

   Innebærer å analysere effekten av en isolert endring i en eller flere variabler (vanligvis ved bruk av derivasjon eller differensiering) i modellen og analysere hvordan dette påvirker de økonomiske resultatene.

Del II: Brøkregning og derivasjon

Brøkregning

Forenkl disse uttrykkene

1. ) \[x^2 \cdot x^3\]

   \[x^{2+3}=x^{5}\]

2. ) \[x \cdot x^4\]

   \[x^{1}x^{4}=x^{1+4}=x^{5}\]

---

3. ) \[y+y\]

   \[2y\]

4. ) \[y^{2} + y\]

   \[yy+y=y(y+1)\]

5. ) \[x_{1}^{0.5} \left(x_{1} + x_{2}\right)\]

   \[x_1^{0.5}x_1^1+x_1^{0.5}x_2^1=x_1^{1.5}+x_1^{0.5}x_2\]

---

6. ) \[\frac{1}{x_1} \cdot x_1^3\]

   \[\frac{x_1^{3}}{x_1^1}=x_1^{3-1}=x_1^{2}\]

7. ) \[\frac{x_{1}^{3}}{x_{2}^{3}}\]

   \[(\frac{x_1}{x_2})^{3}\]

---

Løs for \(y\):

1. ) \[y^2 =a b\]

   \[\sqrt{y^2}=\sqrt{ab}\] \[y=\sqrt{ab}\]

2. ) \[y^{0.5}=a + b\]

   \[(y^{0.5})^2=(a+b)^2\] \[y=(a+b)^2\]

---

Derivasjon

En variabel

Deriver med hensyn på \(x\):

1. ) \[4 x^{3}\]

   \[f'(x) = 12x^2 \]

2. ) \[4 x^{5} + \frac{2}{x^{3}}\]

   \[f'(x) = 20x^4-6x^{-4}\]

---

3. ) \[\frac{1}{6}x^6a\]

   \[f'(x) = x^5a\]

4. ) \[\frac{1}{6}x^6+a \]

   \[f'(x) = x^{5}\]

---

5. ) \[\frac{5x}{2x^2}\]

   Vi kan skrive dette som \[ \frac{5}{2x}=\frac{5 \cdot x^{-1}}{2} \] Derivasjons av dette uttrykket gir oss \[ f'(x) = \frac{- 5 \cdot x^{-1-1}}{2}=\frac{- 5 \cdot x^{-2}}{2}=\frac{-5}{2x^2} \]

---

To variabler

Deriver med hensyn på \(x\) og \(y\):

1. ) \[5 x^{4} + 3 y^{0.5}\]

   \[f'_x(x,y)=20x^3\] \[f'_y(x,y)=1.5y^{-0.5}\]

2. ) \[2 x^{0.5} + x y^{0.5}\]

   \[f'_x(x,y)=x+y^{0.5}\] \[f'_y(x,y)=0.5xy^{-0.5}\]

---

3. ) \[3x^{1/6}y^{2}+y^{1/3}x^{3}\]

   \[f'_x(x,y)=\frac{1}{2}x^{-5/6}y^2+3y^{1/3}x^2\] \[f'_y(x,y)=6x^{1/6}y+\frac{1}{3}y^{-2/3}x^3\]

---

Deriver med hensyn på \(x_1\) og \(x_2\):

4. ) \[3x_1^{1/6}+x_2^{1/3}\]

   \[f'_x(x_1,x_2)=\frac{1}{2}x_1^{-5/6}\] \[f'_y(x_1,x_2)=\frac{1}{3}x_2^{-2/3}\]

---

Diffrensiering

Ta utgangspunkt i funksjonen \[ \overline{x} = f(x_1,x_2) \] Hvor \(\overline{x}\) er en konstant, og \(x_1\) og \(x_2\) er to variabler.

1. ) Totaldifferensier uttrykket

   \[ 1\cdot \Delta \overline{x} = f'_{x_1}(x_1,x_2)\Delta x_1 + f'_{x_2}(x_1,x_2)\Delta x_2 = 0 \]

---

2. ) Vis så at det er mulig å skrive dette som \[ -\frac{\Delta x_{2}}{\Delta x_{1}} = \frac{f'_{x_{1}}}{f'_{x_{2}}} \]

   \[f'_{x_2}(x_1,x_2)\Delta x_2 =- f'_{x_1}(x_1,x_2)\Delta x_1 \] \[\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = -\frac{f'_{x_1}(x_1,x_2)}{f'_{x_2}(x_1,x_2)}\] \[-\frac{\Delta x_2}{\Delta x_1} = \frac{f'_{x_1}(x_1,x_2)}{f'_{x_2}(x_1,x_2)}\]

Del III: System av ligninger og Lagranges metode

System av likninger

Løs systemet av likninger nedenfor for \(x_1\) og \(x_2\) \[\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{x_1} = 2 \\ 10x_{1}+5x_{2}=40 \end{eqnarray*}\]

---

Vi kan løse det første uttrykket for \(x_2\) \[ x_2 = 2x_1 \] Ved å sette inn i det andre uttrykket og løse for \(x_1\) \[ 10x_{1}+5(2x{_1})=40 \] \[ x_{1}=\frac{40}{20}=2 \] Som deretter kan løses for \(x_2\) ved å sette tilbake til det først (eller andre) uttrykket: \[ x_2 = 2\cdot 2= 4 \\ \]

---

Lagranges metode

Anta at vi har at \(u(x_1,x_2)=10x_1x_2\) og at \(10x_{1}+5x_{2}=40\)

Vis ved bruk av Lagrange-metode at dette gir opphav til systemet av ligninger vist ovenfor

---

Maks \[\begin{equation*} u(x_1,x_2)=10x_1x_2 \end{equation*}\] Gitt at \[\begin{equation*} 10x_{1}+5x_{2}=40 \end{equation*}\] Lagrangefunksjonen vil derfor være gitt ved \[\begin{equation*} L(x_1,x_2) = 10x_1x_2 - \lambda(10x_{1}+5x_{2}-40) \end{equation*}\] De to første ordens betingelsene vil være gitt ved: \[\begin{eqnarray*} L'_{x_1}=10x_2 - \lambda 10 = 0 \\ L'_{x_2}=10x_1 - \lambda 5 = 0 \end{eqnarray*}\] Som sammen med budsjettbetingelsen gir oss to likninger til løsing av to ukjente, \(x_{1}\), \(x_{2}\): \[\begin{eqnarray*} \frac{x_2}{x_1} = 2 \\ 10x_{1}+5x_{2}=40 \end{eqnarray*}\]