Seminar 3: Produsentteori på kort og lang sikt

Uke 9, ansvarlig: JIH

Oppgave 1: Produksjonsteori på kort sikt

Bedriften Ambå produserer bæreposer ved hjelp av arbeidskraft (\(N\)). Produksjonsprosessen kan beskrives ved hjelp av en produktfunksjon \(x = 2 N^{0.5}\). Produktprisen er \(20\) kroner, mens faktorprisen for arbeidskraft (\(w\)) er gitt ved \(5\) kroner.

Gi en forklaring om egenskapene tilhørende marginalproduktiviteten til arbeidskraften.

Siden vi har at \(f'(N)=\frac{1.0}{\sqrt{N}}>0\) og \(f''(N)=- \frac{0.5}{N^{\frac{3}{2}}}<0\) kan vi si at produktfunksjonen er positiv med avtagende grenseproduktivitet. Dvs. desto flere arbeidere, desto høyere produksjon, men hvor produksjonsbidraget som kommer som en følge av den siste enheten i bruken av arbeidskraft vil være mindre enn de foregående.

Sett opp uttrykket for fortjenesten til bedriften. Finn deretter betingelsen (førsteordens) for bruk av arbeidskraft som maksimerer fortjenesten til bedriften. Gi til slutt en økonomisk tolkning av denne tilpasningsbetingelsen.
Uttrykket for fortjenesten til bedriften er gitt ved: \[ F = 40.0 \sqrt{N} - 5 N \] Ved å maksimere dette uttrykket mhp. \(N\), finner vi at betingelsen (førsteordens) for bruk av arbeidskraft som gjør fortjenesten størst mulig er gitt ved: \[\begin{aligned} -5.0 + \frac{20.0}{\sqrt{N}} = 0 \\ \frac{\sqrt(N)}{20}= \frac{1}{5} \\ \sqrt(N)= \frac{20}{5} = 4 \\ (\sqrt(N))^{2}= 4^2 \\ N=16 \end{aligned}\]
Tolkning: Bruken av arbeidskraft tilpasses slik at verdien av grenseproduktiviteten er lik faktorprisen for arbeidskraft. Dette er optimalt, siden dersom denne verdien er høyere (lavere) enn kostnaden, vil bedriften øke (redusere) sin fortjeneste ved å ansette flere (færre) arbeidere.

Hvor mye arbeidskraft vil bli benyttet og hvor mange bæreposer vil bli produsert dersom bedriften har som mål å maksimere sin fortjeneste?

Dersom vi løser førsteordensbetingelsen mhp. arbeidskraft finner vi at optimal bruk av arbeidskraft er gitt \(N=16.0\) enheter. Setter vi denne verdien tilbake i produktfunksjonen får vi at dette gjør det mulig å produsere \(\mathtt{\text{x = 8.0}}=\sqrt(16)\) enheter.

Hvor høy blir fortjenesten til bedriften i dette tilfellet?

Fortjenesten vil i dette tilfellet være gitt ved \[ F = 20\cdot 2 \sqrt{16.0} - 5\cdot 16 \] \[ F = 80.0 \]

Vis ved bruk av en figur og forklar hva som skjer med etterspørselen til bedriften i arbeidsmarkedet i det faktorprisen for arbeidskraft reduseres.

Dersom faktorprisen for arbeidskraft går ned vil verdien av grenseproduktiviteten i utgangspunktet være høyere enn faktorprisen. Det vil gjøre det lønnsomt for bedriften å øke bruken av antal arbeidere helt inntil disse to verdiene er lik hverandre igjen.

Oppgave 2: Produksjonsteori på lang sikt

Forklar, og vis ved hjelp av en figur, hva som er produsentens kostnadsminimerende faktorkombinasjon.

Anta at produsentens produktfunksjon er gitt ved \(x=N^{0.4}K^{0.2}\) der \(x\) er produsert mengde, \(N\) er mengden arbeidskraft og \(K\) er mengden realkapital.

Finn grenseproduktiviteten (grenseproduktet) til hver av de to produksjonsfaktorene.

Grenseproduktiviteten til faktor 1: Den produksjonsøkningen vi får dersom vi øker innsatsen av faktor 1 med 1 enhet, og holder innsatsen av den andre produksjonsfaktoren konstant. Matematisk er dette tilnærmet lik den partiellderiverte av x med hensyn på x1.
\[ f'_1=0.4N^{-0.6}K^{0.2} \] Helt tilsvarende definerer vi grenseproduktiviteten til faktor 2.
\[ f'_2=0.2N^{0.4}K^{-0.8} \]
Vi ser at begge grenseproduktivitetene er positive.

Finn produsentens kostnadsminimerende faktorkombinasjon når lønnssatsen (w) er lik \(400\), brukerprisen på realkapital (r) er lik \(200\) og bedriften har bestemt seg for å produsere 100 enheter. Finn også de totale kostnadene ved denne kostnadsminimerende faktorbruken.

Problemstilling: Minimer kostnadene for gitt produksjonsnivå, dvs \[\text{Minimer } C = 400N + 200K \text{ gitt } N^{0.4}K^{0.2}=100\] System av likninger \[\begin{aligned} \frac{0.4N^{-0.6}K^{0.2}}{0.2N^{0.4}K^{-0.8}} = \frac{400}{200} \\ N^{0.4}K^{0.2}=100 \end{aligned}\] Første likning gir oss tilpasningsbetingelsen: \[\begin{aligned} \frac{0.4N^{-0.6}K^{0.2}}{0.2N^{0.4}K^{-0.8}} =\frac{400}{200} \Rightarrow \frac{2K}{N}=2 \Rightarrow K=N \text{ Dette er substitumalen } \end{aligned}\] Finner nå den kostnadsminimerende faktorkombinasjonen i skjæringspunktet mellom substitumalen og isokvanten der \(x_0 = 100\). Den kan vi finne ved å erstatte \(K\) i produksjonsfunksjonen med \(N\) ettersom \(K = N\) ved kostnadsminimal tilpasning. I så fall får vi: \[\begin{aligned} N^{0.4}K^{0.2}=100 \Rightarrow \\ N^{0.6}=100 \Rightarrow \\ (N^{0.6})^{1/0.6}=100^{1/0.6} \\ N=100^{1/0.6}=100^{5/3} \approx 2153 \text{ enheter arbeidskraft} \\ K=N \approx 2153 \text{ enheter kapital} \end{aligned}\]
De laveste kostnadene som \(100\) enheter kan produseres for: \[ C_{min} = wN+rK=400\cdot 2154 + 200\cdot 2154 = 1292.66 \]

Vis at produsentens kostnadsfunksjon er: \(C(x)=600x^{\frac{5}{3}}\). Finn også produsentens grensekostnader.

Problemstilling: Minimer kostnadene for gitt produksjonsnivå, dvs \[\text{Minimer } C = 400N + 200K \text{ gitt } N^{0.4}K^{0.2}=x_0\] System av likninger \[\begin{aligned} \frac{0.4N^{-0.6}K^{0.2}}{0.2N^{0.4}K^{-0.8}}= \frac{400}{200} \\ N^{0.4}K^{0.2}=x^0 \end{aligned}\] I forrige deloppgave fant vi substitumalen: \(K = N\). Vi setter \(N=K\) inn i produktfunksjonen og løser denne med hensyn på \(N\): \[\begin{aligned} N^{0.4}N^{0.2}= x \Rightarrow \\ N^{0.6}=x \Rightarrow \\ N = x^{\frac{1}{0.6}} = x^{\frac{10}{6}} = x^{\frac{5}{3}} \\ \text{Dermed er også} \\ K=N=x^{5/3} \end{aligned}\]

Så erstatter vi \(N\) og \(K\) i budsjettbetingelsen med disse to uttrykkene: \[ C(x) = 400\cdot x^{\frac{5}{3}}+200\cdot x^{\frac{5}{3}} \Rightarrow C(x) = 600\cdot x^{\frac{5}{3}} \] Grensekostnadsfunksjonen finner vi ved å derivere kostnadsfunksjonen mhp \(x\): \[ C'(x) = \frac{5}{3}\cdot 600\cdot x^{\frac{2}{3}} = 1000\cdot x^{\frac{2}{3}} \]